Міністерство освіти і науки України Національний університет «Львівська політехніка» Інститут комп’ютерних наук та інформаційних технологій Кафедра автоматизованих систем управління Звіт до лабораторної роботи №1 Інтерполяція та апроксимація даних  ЛАБОРАТОРНА РОБОТА №1 Тема: Інтерполяція та апроксимація даних. Мета: Навчитися представляти запропоновані сигнали за допомогою стандартних функцій. Теоретичні відомості: Апроксимація даних: Нехай величина y є функцією аргументу x. Це значить, що будь-якому значенню x з області визначення поставлено у відповідність значення y. Разом з тим на практиці часто невідомий дійсний зв’язок між y та x, тобто неможливо записати цей зв’язок у вигляді y=f(x). В деяких випадках навіть при невідомій залежності y=f(x) він настільки громіздкий(наприклад, містить важко обчислювані вирази, складні інтеграли і т.д.), що його використання у практичних розрахунках утруднено. Найбільш розповсюдженим та практично важливим випадком, коли вигляд зв’язку між параметрами x та y невідомий, є задання цього зв’язку у вигляді деякої таблиці {xi yi}. Це значить, що дискретній множині значень аргументу {xi} відповідає множина значень функції {yi} (i=0,1…n). Ці значення - або результати розрахунків, або експериментальні дані. На практиці нам можуть знадобитися значення величини y також і в інших точках, що відрізняються від вузлів xi. Однак отримати ці значення можні лише шляхом дуже важких розрахунків або проведенням дорогих експериментів. Таким чином, з точки зору економії часу та засобів ми приходимо до необхідності використання існуючих табличних даних для наближеного обчислення шуканого параметра y при будь-якому значенні(з деякої області), що визначає параметр x, оскільки точний зв’язок y=f(x) невідомий. Цій меті і слугує задача про наближення(апроксимації) функцій: дану функцію f(x) необхідно наближено замінити(апроксимувати) деякою функцією g(x) так, щоб відхилення(в деякому сенсі) g(x) від f(x) в заданій області було мінімальним. Функція g(x) при цьому називається апроксимуючий. Для практики суттєво важливий випадок апроксимації функції багаточленом: g(x)=a0+a1x+a2x2+…+amxm (1.1) При цьому коефіцієнти aj будуть підбиратися так, щоб досягти найменшого відхилення багаточлена від даної функції. Якщо наближення будується на заданій множині точок {xi}, то апроксимація називається точковою. До неї відносяться інтерполювання, середньоквадратичне наближення таі інше. При побудові наближення на неперервній множині точок(наприклад, на проміжку [a,b] апроксимація називається неперервною або інтегральною). Точкова апроксимація: Одним з основних типів точкової апроксимації є інтерполювання. Воно полягає у наступному: для даної функції y=f(x) будуємо багаточлен (1.1), що приймає в заданих точках xi ті самі значення yi, що і функція f(x), тобто g(xi)=yi, i=0,1,…n. При цьому припускається, що серед значень xi немає однакових, тобто xi(xk при цьому i(k. Точки xi називаються вузлами інтерполяції, а багаточлен g(x) - інтерполяційним багаточленом.
Рис. 1.1 Таким чином, близькість інтерполяційного багаточлена до заданої функції полягає в тому, що їх значення співпадають на заданій схемі точок(рис.1.1, суцільна лінія). Максимальний ступінь інтерполяційного багаточлена m=n; в цьому випадку говорять про глобальну інтерполяцію. При великій кількості вузлів інтерполяції отримаємо високий ступінь багаточлена (1.1) у випадку глобальної інтерполяції, тобто коли необхідно мати один інтерполяційний багаточлен для всього проміжку виміру аргументу. Крім того, табличні дані могли бути отримані шляхом вимірів та містити похибки. Побудова апроксимовуваного багаточлена за умови обов’язкового проходження його графіка через ці експериментальні точки значило б старанне повторення припущених при вимірах похибок. Вихід з цього положення може бути знайдено шляхом вибору такого багаточлена, графік якого проходить близько від даних точок(рис.1...